二次函数

学习目标

1. 理解二次函数的概念
2. 掌握二次函数的图像和性质
3. 会求二次函数的顶点、对称轴、最值
4. 能用二次函数解决实际问题

二次函数的概念

一般地，形如 y = ax² + bx + c（a ≠ 0） 的函数叫做二次函数。

图像与性质

二次函数的图像是一条抛物线。

a 的值	开口方向	最值
a > 0	向上	有最小值
a < 0	向下	有最大值

三种形式

形式	表达式	用途
一般式	y = ax² + bx + c	求与 y 轴交点
顶点式	y = a(x - h)² + k	顶点坐标 (h, k)
交点式	y = a(x - x₁)(x - x₂)	与 x 轴交点

关键公式

• 对称轴：x = -b / (2a)
• 顶点坐标：(-b/(2a), (4ac - b²)/(4a))

二次函数与一元二次方程

二次函数 y = ax² + bx + c 与 x 轴的交点个数：

判别式 Δ = b² - 4ac	交点个数
Δ > 0	2 个
Δ = 0	1 个
Δ < 0	0 个